一类传染病模型的稳定性研究-凯发娱乐注册

1. 引言

近年来，在生物动力系统中，传染病模型是人们研究的重要课题，含有疾病影响因素的传染病模型也有了可喜的研究成果 [1] - [6] 。平衡点的存在性、局部稳定性、全局渐进稳定性、数值仿真是传染病模型研究的主要内容，文献 [7] 中，作者主要给出了以下传染病模型

{ d s ( t ) d t = r ( 1 − s ( t ) i ( t ) k ) s ( t ) − d s ( t ) − β i ( t ) s ( t ) q r ( 1 − s ( t ) i ( t ) k ) i ( t ) d i ( t ) d t = β i ( t ) s ( t ) − ( d μ ) i ( t ) ( 1 − q ) r ( 1 − s ( t ) i ( t ) k ) i ( t ) (1)

平衡点的存在性、局部稳定性以及全局稳定性条件。其中r为自然增长率，k为环境容纳量，d为自然死亡率， β 为有效接触率，q为染病类中新生个体未染病的比例系数， 0 < q < 1 ， 1 − q 为染病类中新生个体的染病速率， μ 为因病死亡率。

文献 [7] 在研究过程中把模型(1)等价为以下模型：

{ d n ( t ) d t = ( r − d ) n ( t ) − r k n 2 ( t ) − μ i ( t ) d i ( t ) d t = [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] i ( t ) β k − ( 1 − q ) r k n ( t ) i ( t ) − β i 2 ( t ) (2)

其中， n ( t ) = i ( t ) s ( t ) 。

另外有如下规定：

r 0 = r d , n 0 = k ( r − d ) r , n ¯ = k [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] ( 1 − q ) r − β k , n δ = β k ( r − d ) μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 β r,

r = n ¯ n 0 = r [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] ( r − d ) [ ( 1 − q ) r − β k ] , σ 1 = ( 1 − q ) r β k , σ 2 = ( 1 − q ) r d μ,

这里 r 0 称为基本再生数，r称为病毒主导再生数。

2. 结论

本节给出本文的主要结论，并给出证明此结论所用到的一个引理——中心流形定理。

定理 若满足以下条件之一：

1) r 0 > 1 > σ i ， r < 1 ， 2 n * > n 0 ， i = 1 , 2 ；

2) r 0 > σ i > 1 ， r < 1 ， β r ( 2 n * − n 0 ) > μ [ ( 1 − q ) r − β k ] ， i = 1 , 2 ，系统(2)的地方病平衡点 e ( n * , i * ) 是局部稳定的。

引理 [8] (中心流形定理)给定向量场

x ˙ = a x f ( x , y ) y ˙ = b y g ( x , y ) ( x , y ) ∈ r c × r s (3)

其中

f ( 0 , 0 ) = 0 , d f ( 0 , 0 ) = 0 ; g ( 0 , 0 ) = 0 , d g ( 0 , 0 ) = 0 .

如果(3)存在一个 c r 的中心流形

w c ( 0 ) = { ( x , y ) ∈ r c × r s | y = h ( x ) , | x | < δ , h ( 0 ) = 0 , d h ( 0 ) = 0 , 0 < δ ≪ 1 },

那么(3)的动态约束在中心流形上，对于充分小的 ν ，可以通过下面的c维向量场给出

ν ˙ = a ν f ( ν , h ( ν ) ) , ν ∈ r c . (4)

如果(4)的零解 ν = 0 稳定(渐进稳定，不稳定)，则(3)的零解 ( x , y ) = ( 0 , 0 ) 稳定(渐进稳定，不稳定)。

3. 定理证明

本节主要利用中心流形定理来补充证明系统(2)的一个地方病平衡点的局部稳定性条件，文献 [7] 中系统(2)存在一个地方病平衡点 e ( n * , i * ) 的条件为：

1) r 0 > σ 2 > 1 > σ 1 ， β k ( r − d ) = 2 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] μ [ β k − ( 1 − q ) r ] ，

β k ( r − d ) μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 ；

2) r 0 > 1 > σ i ， r < 1 ， i = 1 , 2 ；

3) r 0 > σ i > 1 ， r < 1 ， i = 1 , 2 ；

4) r 0 > σ i > 1 ， r > 1 ， β k ( r − d ) − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 ， i = 1 , 2 ，

[ β k ( r − d ) ] 2 = 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] { [ ( 1 − q ) r − β k ] μ 2 β k ( r − d ) }。

证明：

在地方病 e ( n * , i * ) 处，系统(2)的jacobian矩阵为

j e = ( r − d − 2 r k n * − μ β k − ( 1 − q ) r k i * − β i * ) .

此时，特征方程为

λ 2 b 1 λ − b 0 = 0 .

其中， b 1 = β k i * 2 r n * − k ( r − d ) k ， b 0 = β [ k ( r − d ) − 2 r n * ] μ [ ( 1 − q ) r − β k ] k i * 。

特征值为：

λ 1 = − b 1 − b 1 2 4 b 0 2 , λ 2 = − b 1 b 1 2 4 b 0 2 .

针对条件1)，此时的地方病平衡点为 e ( n * , i * ) ，

n * = β k ( r − d ) μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 β r,

i * = ( 1 − q ) r − ( d μ ) β − ( r − d ) [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 β r − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 2 β 2 k r = k ( r − d ) 2 4 μ r − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] 2 4 β 2 k r .

显然，在这种条件下

b 0 = β [ k ( r − d ) − 2 r n * ] μ [ ( 1 − q ) r − β k ] k i * = 0 .

此时，若 b 1 < 0 成立，则会出现正的特征值，那么，地方病平衡点 e ( n * , i * ) 不稳定；所以要求 b 1 > 0 ，若 β k ( r − d ) 2 − β k [ μ ( σ 1 − 1 ) ] 2 4 μ r ( σ 1 − 1 ) > 0 成立，则 b 1 > 0 。此时，特征值 λ 1 < 0 ， λ 2 = 0，下面用中心流形定理来判断地方病平衡点 e ( n * , i * ) 的稳定性。

首先，对系统(2)做平移变换： n ( t ) = x ( t ) n * ， i ( t ) = y ( t ) i * ，将地方病平衡点 e ( n * , i * ) 移至原点 ( 0 , 0 ) 处，此时系统(2)变为：

{ d x ( t ) d t = ( r − d ) x ( t ) − 2 r k n * x ( t ) − μ y ( t ) − r k x 2 ( t ) d y ( t ) d t = β k − ( 1 − q ) r k i * x ( t ) − β i * y ( t ) β k − ( 1 − q ) r k x ( t ) y ( t ) − β y 2 (t)

即

( x ′ y ′ ) = ( ( r − d ) − 2 r k n ∗ − μ β k − ( 1 − q ) r k i * − β i ∗ ) ( x y ) ( − r k x 2 β k − ( 1 − q ) r k x y − β y 2 ) .

其线性化方程对应的特征值为 λ 1 = 0 ， λ 2 = − b 1 。通过计算，可以得到 λ 1 ， λ 2 对应的特征向量分别为

( 1 1 − σ 1 ) ， ( 1 a ) ，这里 a = β i ∗ μ 。记 t = ( 1 1 1 − σ 1 a ) ，通过变换 ( x y ) = t ( m n ) ，可以得到：

( m ′ n ′ ) = ( 0 0 0 − b 1 ) ( m n ) t − 1 ( − r k m 2 − r k n 2 − 2 r k m n β ( 1 − σ 1 ) ( 1 − σ 1 − a ) m n β a ( 1 − σ 1 − a ) n 2 ) .

即

{ m ′ = − a r ( a σ 1 − 1 ) k m 2 − a r ( a σ 1 − 1 ) k n 2 − 2 a r ( a σ 1 − 1 ) k m n β ( 1 − σ 1 ) m n β a n 2 n ′ = − b 1 n − r ( σ 1 − 1 ) ( a σ 1 − 1 ) k m 2 − r ( σ 1 − 1 ) ( a σ 1 − 1 ) k n 2 − 2 r ( σ 1 − 1 ) ( a σ 1 − 1 ) k m n − β ( 1 − σ 1 ) m n − β a n 2

计算中心流形，假设 h ( m ) = a m 2 b m 3 o ( m 4 ) ，带入上面的系统，我们可以得到

a = r ( 1 − σ 1 ) ( a σ 1 − 1 ) b 1 k , b = − β r ( 1 − σ 1 ) 2 ( a σ 1 − 1 ) b 1 2 k 2 r 2 ( σ 1 − 1 ) ( σ 1 − 1 − a ) ( a σ 1 − 1 ) 2 b 1 2 k 2 .

所以，约束在中心流形上， m ′ = − a r ( a σ 1 − 1 ) k m 2 o ( m 3 ) 。显然在这种情况下 a r ( a σ 1 − 1 ) k > 0 ， ( 0 , 0 )

是不稳定的平衡点，因此可以得出地方病平衡点 e ( n * , i * ) 在这种条件下是不稳定的。

针对条件2)，此时的地方病平衡点为 e ( n * , i * ) ，

n * = β k ( r − d ) μ [ ( 1 − q ) r − β k ] { β k ( r − d ) μ [ ( 1 − q ) r − β k ] } 2 − 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] 2 β r ， i * = β k − ( 1 − q ) r β k n * ( 1 − q ) r − ( d μ ) β .

若此时 2 n * > n 0 成立，则 b 0 < 0 ， b 1 > 0 ，进而特征方程必有两个负实根或一对带负实部的复根，因此系统(2)的地方病平衡点 e ( n * , i * ) 在这种条件下是局部稳定的。

针对条件3)，通过与条件2)相同的证明方法可以得到当满足条件： r 0 > σ i > 1 ， r < 1 ， β r ( 2 n * − n 0 ) > μ [ ( 1 − q ) r − β k ] ， i = 1 , 2 ，地方病平衡点 e ( n * , i * ) 是局部稳定的。

针对条件4)，通过与条件1)相同的证明方法，利用中心流形定理得到当满足条件：

r 0 > σ i > 1 ， r > 1 ， β k ( r − d ) − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] > 0 , i = 1 , 2,

[ β k ( r − d ) ] 2 = 4 β k μ r [ ( 1 − q ) r − ( d μ ) ] − μ [ ( 1 − q ) r − β k ] { [ ( 1 − q ) r − β k ] μ 2 β k ( r − d ) },

地方病平衡点 e ( n * , i * ) 是不稳定的。 证毕

参考文献