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带logistic源的奇异趋化系统解的整体存在性
global existence of classical solutions to a singular chemotaxis system with logistic source

doi: , , html, ,
作者: 王娇：辽宁师范大学数学学院，辽宁大连
关键词: ；；；；；；；

摘要: 本文研究一类在齐次neumann边界条件下的具有奇异灵敏度和logistic源的抛物–抛物趋化系统：

u_{t} = δ u - χ \nabla \cdot (\frac{u}{v} \nabla v) r u - μ u^{k}

，

v_{t} = δ v - v u

，其中

ω \subset ℝ^{n}

为光滑有界凸域，

μ, χ > 0

，

r \in ℝ

。证明了当于

k > 1

及

χ \leq \frac{4}{n}

时，系统存在唯一的整体古典解。

abstract: this paper investigates a class of parabolic chemotaxis systems with singular sensitivity and logistic sources under homogeneous neumann boundary conditions:

u_{t} = δ u - χ \nabla \cdot (\frac{u}{v} \nabla v) r u - μ u^{k}

v_{t} = δ v - v u

, where

ω \subset ℝ^{n}

is a smooth bounded convex domain,

μ, χ > 0

r \in ℝ

. it is proved that for

k > 1

with

χ \leq \frac{4}{n}

, the system admits a unique global classical solution.

文章引用：王娇. 带logistic源的奇异趋化系统解的整体存在性[j]. 理论数学, 2024, 14(10): 219-225.

1. 引言

近五十年来，趋化模型已成为生物数学研究的主要焦点之一。趋化性模型主要描述细胞受化学物质吸引产生的定向运动，这个过程在各种生物学应用中起着很大的作用，例如胚胎发育、伤口愈合和血管形成。因此，对趋化性的研究可以帮助理解这些基本过程，尤其是可以帮助探索生命系统发育机制。趋化系统中经典keller-segel系统是由keller和segel于20世纪70年代提出的[1]，由如下反应扩散方程组刻画：

$\begin{matrix} {\begin{cases} u_{t} = δ u - χ \nabla \cdot (u ϕ (v) \nabla v) f (u) \\ v_{t} = δ v - v u \end{cases} \end{matrix}$ (1.1)

模型(1.1)中的pde系统在数学生物学中用于模拟趋化机制，即细胞对空间中不均匀分布的化学物质的存在作出反应的运动。在齐次neumann边界条件下，u表示细胞浓度，v表示化学信号浓度， $r, μ$ 为非负常数， $ω \in ℝ^{n} (n \geq 1)$ 为有界光滑凸域， $\frac{\partial}{\partial ν}$ 表示光滑边界 $\partial ω$ 上的单位外法向量。 $χ$ 表示趋化强度，当 $χ > 0$ 时，细胞表现出向更高信号浓度移动的趋势；相反地，当 $χ < 0$ 时细胞更倾向于远离化学物质。

现回顾系统(1.1)的相关结论。若 $ϕ (v) = \frac{1}{v}, f (u) = 0$ ，fujie等人证明了当 $0 < χ < \sqrt{\frac{2}{n}} (n \geq 2)$ 时古典解的整体存在性以及当 $0 < χ < \sqrt{\frac{n 2}{3 n - 4}} (n \geq 2)$ 时系统(1.1)存在一个整体弱解[2]；在径向对称条件下，stinner和winker引入并证明了neumann问题的广义解概念[3]；此外，lankeit等人证明了 $n = 2$ 或 $n = 3, χ < \sqrt{8}$ 或 $n \geq 4, χ < \frac{n}{n - 2}$ 时系统(1.1)有一个全局广义解[4]。若 $ϕ (v) = \frac{1}{v}, f (u) = r u - μ u^{k}$ ，zhao和zheng证明了在 $n = 2, k = 2$ 时，如果满足 $r > \frac{χ^{2}}{4} (0 < χ \leq 2)$ 或 $r > χ - 1 (χ > 2)$ 时，系统(1.1)具有唯一的全局有界古典解[5]；后来，zhao研究了当 $χ \in (0, \min {\frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{2 (n - 1)}}}), n \geq 2$ 时系统(1.1)解的整体存在性和有界性[6]。

本文受以上结论启发，研究一类在齐次neumann边界条件下具有奇异灵敏度和logistic源的抛物–抛物趋化系统：

${\begin{array}{l} u_{t} = δ u - χ \nabla \cdot (\frac{u}{v} \nabla v) r u - μ u^{k}, & x \in ω, t > 0, \\ v_{t} = δ v - v u, & x \in ω, t > 0, \\ \frac{\partial u}{\partial ν} = \frac{\partial v}{\partial ν} = 0, & x \in \partial ω, t > 0, \\ u (x, 0) = u_{0} (x), v (x, 0) = v_{0} (x), & x \in ω, \end{array}$ (1.2)

其中 $μ, χ > 0$ ， $r \in ℝ$ 和 $k > 1$ ， $ω \in ℝ^{n}$ 为光滑有界凸域。初始条件满足：

$u_{0} \in c^{0} (\bar{ω}), v_{0} \in w^{1, q} (ω) (q > 1) .$ (1.3)

定理1.1 设 $μ, χ > 0$ ， $r \in ℝ$ ， $k > 1$ 且初始条件满足(1.3)。当 $χ \leq \frac{4}{n}$ 时，系统(1.2)存在唯一的整体古典解。

注不同于相关文献[6]，本文在齐次neumann边界条件下，通过构造能量函数 $z = \frac{u}{v} \frac{χ}{2} {| \nabla \log v |}^{2}$ ，进而利用先验估计和neumann热半群理论，证明了当趋化敏感函数和方程中的参数满足一定的条件时，古典解整体存在。

2. 预备知识

根据banach不动点理论，可以得到如下解的局部存在性，具体证明参考相关文献[7]。

引理2.1 假设 $u_{0}, v_{0}$ 满足(1.3)。若 $μ, χ > 0$ ， $k > 1$ ， $r \in ℝ$ ，则存在 $t_{\max} \in (0, \infty]$ 及唯一非负函数 $(u, v)$

${\begin{cases} u \in c^{0} (\bar{ω} \times [0, t_{\max}) \cap c^{2, 1} (\bar{ω} \times (0, t_{\max}))) \\ v \in c^{0} (\bar{ω} \times [0, t_{\max}) \cap c^{2, 1} (\bar{ω} \times (0, t_{\max})) \cap l_{l o c}^{\infty} ([0, t_{\max}); w^{1, q} (ω))) \end{cases}$

满足(1.2)。另外， $t_{\max} = \infty$ 或者 $t_{\max} < \infty$ 并且 $\lim_{t \to t_{\max}} ({‖ u (\cdot, t) ‖}_{l^{\infty} (ω)} {‖ v (\cdot, t) ‖}_{w^{1, q} (ω)}) = \infty$ 。

为了方便，记 $t = t_{\max}$ ，设 $(u, v)$ 是系统(1.2)的非负光滑解，根据比较原理以及v的正性，可得：

$v (x, t) \geq (\inf_{x \in ω} v_{0}) e^{- t}, t \in (0, t) .$ (1.4)

下面给出 $u$ 的一个先验估计。

引理2.2 设 $μ, χ > 0$ ， $k > 1$ ， $r \in ℝ$ ，则

$\begin{matrix} \int_{ω} u (\cdot, t) d x \leq l_{1} : = \max {\int_{ω} u_{0} d x, | ω | {(\frac{| r |}{μ})}^{\frac{1}{k - 1}}}, t \in (0, t) . \end{matrix}$ (2.1)

证明根据(1.2)的第一个方程，知：

$\frac{d}{d t} \int_{ω} u d x = r \int_{ω} u d x - μ \int_{ω} u^{k} d x, t \in (0, t),$

由hölder不等式有：

$\frac{d}{d t} \int_{ω} u d x \leq r \int_{ω} u d x - \frac{μ}{{| ω |}^{k - 1}} {(\int_{ω} u d x)}^{k} = : l_{1}, t \in (0, t) .$

应用伯努利不等式(参见[[6], lemma 2.2)得(2.1)。

3. 主要结果

引理3.1 设 $ω \in ℝ^{n}$ 为光滑有界凸域， $μ, χ > 0$ ， $k > 1$ ， $r \in ℝ$ 。若 $χ \leq \frac{4}{n}$ 时，存在一个无关于时间t的常数 $l_{1} > 0$ ，使得

${‖ \frac{u}{v} ‖}_{l^{\infty} (ω)} {‖ \nabla \log v ‖}_{l^{\infty} (ω)} \leq l_{2} e^{2 t}, t \in (0, t) .$ (3.1)

证明由系统(1.2)的第一个方程，有

$\begin{matrix} \partial_{t} (\frac{u}{v}) = \frac{δ u}{v} - \frac{χ}{v} \nabla \cdot (u \nabla \log v) (r 1) (\frac{u}{v}) - μ (\frac{u^{k}}{v}) - \frac{u δ v}{v^{2}} - {(\frac{u}{v})}^{2} \\ = \frac{δ v}{v} - \frac{u δ v}{v^{2}} - χ \nabla (\frac{u}{v}) \cdot \nabla \log v - χ (\frac{u}{v}) {| \nabla \log v |}^{2} - χ (\frac{u}{v}) δ \log v \\ (r 1) (\frac{u}{v}) - μ (\frac{u^{k}}{v}) - {(\frac{u}{v})}^{2} \\ = δ (\frac{u}{v}) 2 (\frac{\nabla u}{v}) \nabla \log v - (2 χ) (\frac{u}{v}) {| \nabla \log v |}^{2} - χ \nabla (\frac{u}{v}) \cdot \nabla \log v \\ - χ (\frac{u}{v}) δ \log v (r 1) (\frac{u}{v}) - μ \frac{u^{k}}{v} - {(\frac{u}{v})}^{2} \\ = δ (\frac{u}{v}) (2 - χ) \nabla (\frac{u}{v}) \cdot \nabla \log v - χ (\frac{u}{v}) {| \nabla \log v |}^{2} - χ (\frac{u}{v}) δ \log v \\ (r 1) (\frac{u}{v}) - μ (\frac{u^{k}}{v}) - {(\frac{u}{v})}^{2} . \end{matrix}$ (3.2)

由系统(1.2)的第二个方程，利用等式 $\nabla ω \cdot \nabla δ ω = \frac{1}{2} δ {| \nabla ω |}^{2} - {| d^{2} ω |}^{2}$ 可得

$\begin{matrix} \partial_{t} ({| \nabla \log v |}^{2}) = 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{δ v}{v}) 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{u}{v}) \\ = 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{δ v}{v} - {(\frac{\nabla v}{v})}^{2}) 2 \nabla \log v \cdot \nabla {(\frac{\nabla v}{v})}^{2} 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{u}{v}) \\ = 2 \nabla \log v \cdot \nabla δ \log v 2 \nabla \log v \cdot \nabla {| \nabla \log v |}^{2} 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{u}{v}) \\ = δ {| \nabla \log v |}^{2} - 2 {| d^{2} \log v |}^{2} 2 \nabla \log v \cdot \nabla {| \nabla \log v |}^{2} 2 \nabla \log v \cdot \nabla (\frac{u}{v}) . \end{matrix}$ (3.3)

令 $z = \frac{u}{v} \frac{χ}{2} {| \nabla \log v |}^{2}$ ，由于 $\frac{\partial u}{\partial ν} = \frac{\partial v}{\partial ν} = 0$ 可以得到在 $\partial ω$ 上 $\frac{\partial z}{\partial ν} \leq 0$ 。将(3.2)与 $\frac{χ}{2}$ (3.3)相加并移项有：

$\partial_{t} z - δ z - 2 \nabla z \cdot \nabla \log v χ (\frac{u}{v}) {| \nabla \log v |}^{2} χ {| d^{2} \log v |}^{2} μ (\frac{u^{k}}{v}) {(\frac{u}{v})}^{2} = - χ (\frac{u}{v}) δ \log v (r 1) (\frac{u}{v})$ .

对上式右边的第一项应用young不等式，由不等式 $| δ ω | \leq \sqrt{n} | d^{2} ω | (ω \in c^{2} (\bar{ω}))$ 得

$- χ (\frac{u}{v}) δ \log v \leq χ | d^{2} \log v | {(\frac{u}{v})}^{2} - (1 - \frac{n χ}{4}) {(\frac{u}{v})}^{2} .$

经分析可得：当 $χ \leq \frac{4}{n}$ 时，有 $(1 - \frac{n χ}{4}) \geq 0$ 。此外，利用 $u, v$ 的正性，结合(1.4)与引理2.2有：

$\begin{matrix} \partial_{t} z - δ z - 2 \nabla z \cdot \nabla \log v \leq (r 1) (\frac{u}{v}) \\ \leq (r 1) c_{1} \cdot \frac{e^{t}}{\inf_{x \in ω} v_{0}} \\ \leq c_{2} e^{t}, t \in (0, t) \end{matrix}$

其中 $c_{2} = \frac{(r 1) c_{2}}{\inf_{x \in ω} v_{0}} > 0$ 。接下来，令 $z = z - c_{2} e^{t}$ ，则有：

$\partial_{t} z - δ z - 2 \nabla z \cdot \nabla \log v \leq 0$ .

由于在 $\partial ω$ 上 $\frac{\partial z}{\partial ν} \leq 0$ ，对上式应用极值原理得：

${‖ z (\cdot, t) ‖}_{l^{\infty} (ω)} \leq {‖ z (\cdot, 0) ‖}_{l^{\infty} (ω)}, t \in (0, t) .$

因此得到了(3.1)。

接下来，我们给出当 $χ \leq \frac{4}{n}$ 时，u在时间上的有界估计。

引理3.2 设 $μ, χ > 0$ ， $k > 1$ ， $r \in ℝ$ 。若 $χ \leq \frac{4}{n}$ ，则存在无关于时间t的常数 $l_{3} > 0$ ，使得

$\sup_{t \leq t} {‖ u (\cdot, t) ‖}_{l^{\infty} (ω)} \sup_{t \leq t} {‖ v (\cdot, t) ‖}_{w^{1, q} (ω)} \leq l_{3} e^{c t} c, t \in (0, t) .$

证明由常数变易公式有：

$u (\cdot, t) = e^{t (δ - 1)} u_{0} - χ \int_{0}^{t} e^{(t - s) (δ - 1)} \nabla (\frac{u}{v} \nabla v) d s \int_{0}^{t} e^{(t - s) (δ - 1)} (r u - μ u^{k}) d s, t \in (0, t) .$

根据neumann热半群理论(参考[8], lemma 2.1)，对于 $p > n$ 有：

$\begin{matrix} {‖ u ‖}_{l^{\infty} (ω)} \leq {‖ e^{t (δ - 1)} u_{0} ‖}_{l^{\infty} (ω)} χ \int_{0}^{t} {‖ e^{(t - s) (δ - 1)} \nabla (\frac{u}{v} \nabla v) ‖}_{l^{\infty} (ω)} d s \int_{0}^{t} {‖ e^{(t - s) (δ - 1)} (r u - μ u^{k}) ‖}_{l^{\infty} (ω)} d s \\ \leq c_{3} {‖ u_{0} ‖}_{l^{\infty} (ω)} k_{4} χ \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ \frac{u}{v} \nabla v ‖}_{l^{p} (ω)} d s c_{4} . \end{matrix}$ (3.4)

应用young不等式、插值不等式、引理2.2和引理3.1，对于(3.4)式右边的第二项有：

$\begin{array}{l} \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ \frac{u}{v} \nabla v ‖}_{l^{p} (ω)} d s \\ \leq \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ u \nabla \log v (s) ‖}_{l^{p} (ω)} d s \\ \leq \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ u (s) ‖}_{l^{p} (ω)} {‖ \nabla \log v (s) ‖}_{l^{\infty} (ω)} d s \\ \leq \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ u (s) ‖}_{l^{1} (ω)}^{\frac{1}{p}} {‖ u (s) ‖}_{l^{\infty} (ω)}^{1 - \frac{1}{p}} {‖ \nabla \log v (s) ‖}_{l^{\infty} (ω)} d s \\ \leq l_{1}^{\frac{1}{p}} l_{2} e^{t} \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2} - \frac{n}{2 p}}) e^{- (t - s)} {‖ u (s) ‖}_{l^{\infty} (ω)}^{1 - \frac{1}{p}} d s \\ \leq c_{5} e^{t} \sup_{s \leq t} {‖ u ‖}_{l^{\infty} (ω)}^{1 - \frac{1}{p}}, \end{array}$

其中 $c_{5} = l_{1}^{\frac{1}{p}} l_{2} > 0$ ，将上式带入(3.4)式中，应用young不等式，取 $t \in (0, t)$ 的极值，可得：

$\sup_{t \leq t} {‖ u ‖}_{l^{\infty} (ω)} \leq c_{5} e^{t} \sup_{t \leq t} {‖ u ‖}_{l^{\infty} (ω)}^{1 - \frac{1}{p}} c_{6} \leq l_{3} e^{c t} c_{6}, t \in (0, t)$ (3.5)

其中 $c_{6} > 0$ 。

由常数变易公式有：

$‖ v (\cdot, t) ‖ \leq e^{t (δ - 1)} v_{0} \int_{0}^{t} e^{(t - s) (δ - 1)} u d s, t \in (0, t) .$

根据neumann热半群理论和 $w^{1, q} (ω)$ 的定义，由引理3.2，对于 $q > 1$ 有：

$\begin{matrix} {‖ v ‖}_{w^{1, q} (ω)} \leq {‖ e^{t (δ - 1)} v_{0} ‖}_{w^{1, q} (ω)} \int_{0}^{t} {‖ e^{(t - s) (δ - 1)} u (s) ‖}_{w^{1, q} (ω)} d s \\ \leq c_{7} {‖ v_{0} ‖}_{w^{1, q} (ω)} k_{2} \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2}}) e^{- (t - s)} {‖ u (s) ‖}_{l^{q} (ω)} d s \\ \leq c_{8} k_{2} \int_{0}^{t} (1 {(t - s)}^{- \frac{1}{2}}) e^{- (t - s)} d s \cdot \sup_{s \leq t} {‖ u (s) ‖}_{l^{q} (ω)} \\ \leq c_{8} l_{4} e^{c t}, t \in (0, t) \end{matrix}$

其中 $c_{7}, c_{8} > 0$ 结合上式，取 $t \in (0, t)$ 的极值有

$\sup_{t \leq t_{\max}} {‖ v (\cdot, t) ‖}_{w^{1, q} (ω)} \leq l_{3} e^{c t} c_{8}, t \in (0, t_{\max})$ (3.6)

结合(3.5)与(3.6)可得

$\sup_{t \leq t} {‖ u (\cdot, t) ‖}_{l^{\infty} (ω)} \sup_{t \leq t} {‖ v (\cdot, t) ‖}_{w^{1, q} (ω)} \leq l_{3} e^{c t} c, t \in (0, t) .$

其中 $c > 0$ 。

证毕。

接下来证明主要结论，应用反证法来证明系统(1.2)古典解的整体存在性。

定理1.1证明

假设 $t_{\max} < \infty$ ，则设 $t \leq t \leq t_{\max} < \infty$ 。则由引理3.2可得：

$\sup_{t \leq t_{\max}} {‖ u (\cdot, t) ‖}_{l^{\infty} (ω)} \sup_{t \leq t_{\max}} {‖ v (\cdot, t) ‖}_{w^{1, q} (ω)} \leq l_{3} e^{c t} c < \infty, t \in (0, t_{\max}) .$

上式显然矛盾于引理2.1，故假设不成立，因此有 $t_{\max} = \infty$ 。从而系统(1.2)存在一个唯一的全局古典解。

证毕。

4. 论文意义与展望

趋化系统简单而又直观的刻画了生物的趋化现象，通过研究模型解的性质，从而了解物质运动的客观规律，具备了较强的现实意义。关于带logistic源的奇性敏感的生物趋化模型，关于解的行为的研究(如整体有界性)还有待进一步完善。

参考文献

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